Come calcolare le variazioni percentuali composte

Un Soroban per un conteggio veloce

David Wilson

Cos'è una variazione percentuale composta?

Siamo tutti consapevoli delle variazioni percentuali. Che si tratti di uno sconto del 25% sul costo di una nuova televisione nelle vendite del Black Friday o di un aumento del 5% delle tariffe dei treni (di nuovo), cambiare un importo in percentuale è un'abilità quotidiana. Ma per quanto riguarda le variazioni percentuali composte?

Immagina di mettere £ 100 in banca in un conto di risparmio con un tasso di interesse fisso del 4% pagato annualmente. Alla fine dell'anno (supponendo che tu non abbia toccato il deposito originale) i tuoi soldi saranno aumentati del 4%, dandoti un extra di £ 4 e un totale di £ 104 sul conto.

Se lasci tutti quei soldi sul conto per un altro anno, cosa succede dopo? Ottieni altri £ 4 e un totale di £ 108 in banca? No. Per il secondo anno, non solo ottieni il 4% sui tuoi £ 100 originali, che sono ancora in banca, ma ottieni anche il 4% sui £ 4 extra che hai guadagnato attraverso gli interessi l'anno precedente. Il 4% di £ 104 è £ 4,16, il che significa che alla fine del secondo anno avrai £ 104 + £ 4,16 = £ 108,16 nel tuo account. Supponendo che tu non tocchi i soldi in un punto e che il tasso di interesse del 4% rimanga costante, guadagnerai più soldi ogni anno man mano che l'importo nel tuo conto aumenta. Questo è l'interesse composto.

Nota: se hai appena ricevuto £ 4 ogni anno, questo sarebbe noto come interesse semplice.

Come calcolare la crescita percentuale composta

Diamo un'occhiata a come calcolare la crescita percentuale composta (nota anche come interesse composto quando si tratta di esempi come il nostro).

Come prima, inizi con £ 100 sul conto bancario e un tasso di interesse fisso del 4%. Potremmo trovare il 4% dividendo £ 100 per 100 per ottenere l'1% e poi moltiplicandolo per 4. Questo è ottimo per un anno, ma se volessimo calcolare quanto avremo nell'account 5 o 10 anni dopo, ci vorrà molto tempo.

Invece, useremo qualcosa chiamato metodo moltiplicatore. Se chiamiamo il nostro deposito originale 100%, dopo un aumento del 4%, finiremo con il 104%. Per calcolare il 104% di un importo, convertiamo prima la percentuale in un decimale dividendo per 100, ottenendo 104/100 = 1,04. Moltiplicando per questo 1,04 si aumenterà un importo del 4% in una volta sola.

Per il nostro esempio, abbiamo £ 100 con cui iniziare, quindi dopo un anno abbiamo £ 100 x 1,04 = £ 104. Dopo un altro anno abbiamo £ 104 x 1,04 = £ 108,16, quindi £ 108,16 x 1,04 = £ 112,49 e così via. Tuttavia, possiamo accelerarlo ancora di più.

Stiamo moltiplicando per lo stesso moltiplicatore, 1.04, una volta per ogni anno che passa, quindi se vogliamo trovare il totale diversi anni più avanti, possiamo moltiplicare per 1.04 tante volte usando i poteri.

Ad esempio, dopo 5 anni, avremo £ 100 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04 che equivale a £ 100 x 1,04 ⁵ = £ 121,67.

Dopo 25 anni avremmo £ 100 x 1,04 ²⁵ = £ 266,58. Immagina quanto tempo ci sarebbe voluto se calcolassimo il 4% per ogni anno separatamente!

Un altro esempio di crescita percentuale composta

Proviamo un altro esempio di crescita percentuale composta.

La popolazione di una città aumenta del 12% ogni anno. Se inizia a 30.000 persone e supponendo che questo aumento rimanga costante, quale sarà la popolazione tra 6 anni? E tra 20 anni?

Quindi, iniziamo con il 100% e vogliamo un aumento del 12%, quindi finiremo con il 112% che è 1,12 come decimale.

Quindi dopo 6 anni la popolazione sarà di 30000 x 1,12 ⁶ = 59215.

Dopo 20 anni sarà 30000 x 1,12 ²⁰ = 289 389.

Che dire delle diminuzioni della percentuale di composto?

Una diminuzione della percentuale del composto (noto anche come decadimento del composto) si verifica quando una quantità diminuisce della stessa percentuale più volte. Il metodo per trovare questo è molto simile a trovare un aumento.

Supponi di aver acquistato un'auto per £ 20.000 e ogni anno il valore dell'auto diminuisce del 15%. Vogliamo scoprire quanto varrà l'auto tra cinque anni.

Potremmo trovare il 15% di £ 20000, sottrarre questo, quindi trovare il 15% del nuovo importo e così via, ma ancora una volta, ci vorrà del tempo. Invece, diamo un'occhiata all'uso dei moltiplicatori come abbiamo fatto sopra.

Se partiamo dal 100%, una riduzione del 15% ci lascerà l'85%. Quindi, invece di pensare a questo come a una diminuzione del 15% ogni anno, possiamo invece pensarlo come a trovare l'85%. L'85% come decimale è 85/100 = 0,85, quindi per trovare l'85% moltiplichiamo per 0,85. Per farlo più volte usiamo i poteri come abbiamo fatto sopra.

Quindi, tornando al nostro esempio di auto, dopo 5 anni il valore sarà £ 20000 x 0,85 ⁵ = £ 8 874,11.

Dopo 10 anni il valore sarà £ 20000 x 0,85 ¹⁰ = £ 3 937,49.

Guarda il video qui sotto per ulteriori esempi.

Interesse composto sul canale YouTube di DoingMaths

© 2020 David