Una guida approfondita alle variabili greche del trading di opzioni

I greci

I greci — delta, gamma, theta, vega e rho — sono cinque variabili che aiutano a identificare i rischi di una posizione di opzione.

I rischi che gli investitori devono affrontare nelle opzioni non sono unidimensionali. Al fine di affrontare le mutevoli condizioni di mercato, un investitore dovrebbe essere consapevole dell'entità di questi cambiamenti. Per vedere se i cambiamenti sono grandi o piccoli, indipendentemente dal fatto che creino un rischio maggiore o minore, la teoria delle opzioni ei modelli di prezzo delle opzioni forniscono agli investitori variabili che identificano le caratteristiche di rischio della loro posizione in opzioni. Queste variabili sono chiamate Greche. Ci sono cinque greci che monitoriamo: delta, gamma, theta, vega e rho.

Poiché i greci sono derivati della formula di Black & Scholes, inizieremo spiegando qualcosa in più a riguardo.

Black & Scholes

La formula di Black and Scholes, a volte nota come formula di Black, Scholes e Merton, è lo strumento standard di mercato per le opzioni di prezzo. Questa formula valuta l'opzione in funzione del prezzo corrente dell'azione S ₀, il tempo alla scadenza dell'opzione T, il suo strike X, la volatilità σ e il tasso di interesse r:

chiamata = S ⁰ N (d ₁) - Xe ^-rT N (d ₂)

put = Xe ^-rT N (-d ₂) - S ₀ N (-d ₁) con

dove N (x) è la funzione di distribuzione normale cumulativa per la distribuzione normale standard, cioè la probabilità che una variabile casuale ~ N (0,1) (con una distribuzione normale standard) sia minore di x.

Prima di discutere la formula, affermiamo le ipotesi sottostanti. La formula di Black and Scholes presuppone:

I ritorni sono IID (indipendenti e distribuiti in modo identico) con una distribuzione normale.
La volatilità futura è nota e costante.
Il tasso di interesse futuro è noto, costante e lo stesso per i prestiti e i prestiti.
Il percorso delle azioni è continuo e il trading continuo è possibile.
I costi di transazione sono nulli.

Per sviluppare la teoria assumiamo che tutte queste ipotesi valgano. Questa formula è lo standard di mercato perché è estremamente robusta rispetto alle violazioni dei suoi presupposti.

Delta

Il primo greco di cui si parlerà è il delta. Fondamentalmente il delta è la sensibilità del valore teorico di un'opzione a una variazione del prezzo del contratto sottostante. Più semplice, il delta è la variazione del valore di un'opzione quando il valore sottostante aumenta di 1 dollaro. Per esempio:

_Chiamata Δ = ∂c / ∂S = N (d ₁) e Δ _put = ∂p / ∂S = N (d ₁) - 1,

con N (d ₁) come nella formula BS.

Il valore di un'opzione call aumenta quando il prezzo delle azioni sale, quindi il delta di un'opzione call è positivo. Al contrario, il valore di un'opzione put diminuisce quando il prezzo dell'azione sale, quindi il delta dell'opzione put è negativo.

Si può notare che N (x) è una funzione di densità di probabilità, quindi assume valore in. Il delta di una chiamata è quindi sempre in e il delta di uno inserito. Poiché il livello sottostante è solitamente di 100 azioni, il delta dell'opzione viene moltiplicato per 100. Ad esempio un'opzione con un delta di 0,25 è considerata come un delta 25. Maggiore è il delta, più simile sarà la variazione del valore dell'opzione. essere al titolo sottostante. Il valore di un'opzione con delta 100 si muoverà esattamente alla stessa velocità del titolo sottostante. Nota anche che l'operazione di derivata è lineare, quindi possiamo calcolare il delta di ciascuna opzione e sommarli per ottenere il delta dell'intero portafoglio (ovviamente può essere esterno).

Quando un'opzione si avvicina alla scadenza, il suo delta cambierà, poiché la probabilità di scadere dentro o fuori dal denaro cambia e la distribuzione normale si restringe e si centra intorno alla media. Quando un'opzione si avvicina alla scadenza, le opzioni in-the-money si sposteranno verso il delta 100 e le opzioni out-of-the-money si sposteranno verso il delta 0. Le opzioni at-the-money, d'altra parte, rimarranno intorno al delta 50.

Quando il prezzo del titolo sottostante cambia, cambia anche il delta. Questo è prevedibile poiché d ₁ è una funzione del prezzo delle azioni.

Delta di una chiamata

Un'interpretazione pratica del delta è il rapporto di copertura: la quantità di azioni che dovrebbero essere acquistate o vendute per neutralizzare il rischio direzionale di un'opzione. Dalla formula BS possiamo vedere un'altra interpretazione. In parole povere, possiamo dire che il delta di un'opzione è la sua probabilità di scadere in the money. (Per una put prenderemo un valore assoluto). Questa approssimazione però funziona solo per le opzioni europee.

Riassumendo, ci sono tre interpretazioni di delta:

La variazione di valore di un'opzione se il sottostante aumenta di 1 dollaro.
Il rapporto di copertura: il numero di azioni da acquistare o vendere per neutralizzare il rischio direzionale della posizione.
La possibilità che l'opzione sia in the money alla scadenza

→ Chiamate OTM: delta tende a 0 quando ci avviciniamo alla scadenza.

→ ITM chiama: il delta tende a 100 col passare del tempo.

Delta di una put rispetto al prezzo sottostante

Delta contro volatilità

Quando la volatilità aumenta (diminuisce) il delta di una call va verso (lontano da) 0,50 e il delta di una put verso (lontano da) -0,50. Quindi, se la volatilità aumenta (diminuisce) il delta di un'opzione in the money diminuisce (aumenta). In caso di un'opzione out of the money, questo è esattamente l'opposto.

Delta rispetto al tempo

Con il passare del tempo, il delta di una chiamata si allontana da 0,50 e il delta di uno stoccaggio da -0,50. Col passare del tempo, il delta di una chiamata in the money si sposta verso 1 e il delta di una chiamata out the money verso 0.

Gamma

La gamma è la derivata del delta in funzione del prezzo delle azioni. Poiché delta è il derivato del valore dell'opzione in funzione dell'azione sottostante, gamma è la variazione del delta quando il prezzo dell'azione aumenta di 1 dollaro. È scritto come segue:

Γ = δ ₂ c / δS ² = N '(d ₁) / S ₀ σ √T

con d ₁ come nella formula BS e N 'la derivata prima della funzione di densità cumulativa gaussiana, cioè la consueta densità gaussiana:

Gamma rispetto al prezzo delle azioni, Gamma rispetto al tempo

Si dice spesso che la gamma raggiunge il suo valore massimo quando un'opzione è ATM. Questo è corretto in prima approssimazione, tuttavia, il massimo reale viene raggiunto quando il prezzo delle azioni è appena sotto il prezzo di esercizio. Questo effetto è mostrato nella parte sinistra della figura sopra per una negoziazione di azioni a 100 dollari. Dato uno sciopero X, la volatilità σ, un tasso r, e un tempo per la scadenza T, il valore azionario dando il massimo gamma è S _{max Γ} = Xe ^{- (r + 3σ ^ 2/2) T}.

La curva gamma di una chiamata e una put sono identiche. Ciò è coerente con quanto abbiamo detto finora sulle chiamate e sui put in generale e sulla gamma in particolare.

Man mano che il tempo alla scadenza diminuisce, la gamma e il theta delle opzioni a pagamento aumentano. Appena prima della scadenza, queste variabili possono diventare drammaticamente grandi.

Gamma rispetto al tempo

Come mostra la figura sopra, il grafico si restringe ma la superficie totale sotto il grafico rimane invariata. Di conseguenza, il grafico ottiene un massimo molto più alto. La parte superiore più alta simboleggia l'aumento di gamma e theta al diminuire del tempo alla scadenza.

A causa del comportamento delle chiamate ITM, ATM e OTM, vediamo che la curva delta si irradierà attorno allo strike con l'avvicinarsi della scadenza. Pertanto, la gamma aumenterà per l'opzione ATM con il passare del tempo. Questo, tuttavia, non è vero per le opzioni OTM e ITM.

La gamma è un parametro di rischio importante perché determina quanto denaro possiamo guadagnare o perdere sul nostro portafoglio delta neutrale al variare del prezzo delle azioni. Nell'esempio seguente, valuteremo il P / L di una posizione in opzione come conseguenza del movimento del sottostante. Assumeremo una gamma costante di 2,7, quindi il delta cambia di 2,7 per movimento in dollari del sottostante.

Supponiamo di acquistare la chiamata 80 1000 volte a 5,52 con un prezzo delle azioni di 79 dollari. Per essere delta neutral, dovremmo vendere 51.100 azioni. Il prezzo delle azioni si sviluppa come segue:



t =	Prezzo delle azioni
0	79
1	84
2	76
3	79

A t = 1 et = 2, riaggiusto la mia copertura in modo da essere delta neutrale. A t = 3, chiudo la mia posizione.

Tre modi per calcolare la variazione di valore di una posizione

Ecco tre modi per calcolare la variazione di valore della nostra posizione, il primo utilizzando il flusso di cassa, il secondo utilizzando delta e il terzo utilizzando la gamma.

1. Calcolo del profitto utilizzando il flusso di cassa

Per prima cosa esaminiamo i flussi di cassa, come mostrato nella tabella seguente. La seconda colonna mostra i flussi di cassa relativi alla chiamata e la terza relativa alla mia posizione in magazzino. L'ultima riga riassume tutto:

Quindi alla fine otteniamo un profitto di 132.300. Se siamo opzioni lunghe e quindi abbiamo una posizione gamma lunga, dobbiamo acquistare azioni se il prezzo delle azioni diminuisce e vendere azioni se il prezzo delle azioni aumenta (compra basso, vendi alto), quindi otteniamo sempre un profitto se l'azione si muove. Verificare di persona che ciò sia valido sia per le call che per le put.

2. Calcolo del profitto utilizzando Delta

Consideriamo ora un secondo modo per calcolare i profitti. Le operazioni sono le stesse, solo il calcolo del profitto è diverso. Con quel metodo consideriamo contemporaneamente l'opzione e la posizione di magazzino. Abbiamo il titolo come copertura per l'opzione, quindi consideriamo solo la posizione delta totale. Iniziamo delta neutral. Poi il movimento azionario, guadagniamo delta. (Calcoliamo i delta che otteniamo utilizzando la differenza tra due dati delta per i valori di stock iniziale e finale. Per ottenere il delta medio durante il movimento, prendiamo questo valore diviso per due). Il portafoglio guadagna valore in base ai suoi delta come spiegato di seguito.

In questo caso utilizziamo il metodo delta medio. Cioè, noi:

Calcola la posizione delta media durante il movimento azionario.
Moltiplicalo per l'intervallo per calcolare il profitto.

Al momento t, effettuiamo una copertura, quindi acquistiamo / vendiamo azioni in modo che il delta sia di nuovo neutro.

Diamo un'occhiata a questo più attentamente:

A t = 0, stock scambia 79, iniziamo una posizione neutra delta, cioè abbiamo 51.100 azioni corte
A t = 1, le azioni vengono scambiate 84. Il delta della posizione delle opzioni è 64,6 * 1000 (dalle opzioni) -51100 (dalle azioni). Tra t = 0 et = 1, la mia posizione delta è passata da 0 a 13.500. Il mio delta medio per la mossa era quindi (13.500 + 0) / 2 = 6750 (6,75 per chiamata). Per calcolare il PnL della mia posizione moltiplico questi delta per l'ammontare del movimento azionario: 6570 * 5 = 33,750 dollari. Per realizzare questo profitto, ho bisogno di vendere azioni per essere nuovamente delta neutral.
A t = 2, le azioni vengono scambiate 76. Il delta della mia posizione in opzioni è 43,0 * 1000 e il delta della mia posizione in azioni è -64600…

Esempio di calcolo del profitto utilizzando Gamma.

3. Calcolo del profitto usando la gamma

Nell'esempio precedente, abbiamo calcolato la posizione delta media prendendo la media della posizione delta iniziale e della posizione delta finale. Ciò può essere ottenuto anche utilizzando la gamma, poiché la gamma definisce la variazione del delta per dollaro.

Chiariamo come:

A t = 0, stock scambia 79, delta neutro, gamma è 2.700.
A t = 1, le azioni scambiano 84. Le azioni si sono spostate di 5, quindi la mia nuova posizione delta è 5 * 2.700. All'inizio del trasferimento il mio delta era 0, quindi il mio delta medio è 5 * 2,700 / 2. Lo stock si è spostato di 5, quindi il portafoglio ha guadagnato 5 * delta medio = 5 * 5 * 2.700 / 2. Il portafoglio è coperto in modo che il delta sia di nuovo 0. Lo chiamiamo "scalping della gamma". Una posizione gamma lunga ti consente di acquistare a un prezzo basso e di vendere a un prezzo alto.
A t = 2, le azioni scambiano 76. Questo è un movimento di 8 dollari, la mia nuova posizione delta è 8 * 2700…

Si può utilizzare la seguente formula generica se partiamo da un portafoglio delta neutral:

P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2